Контакты
Главная / Продукты для похудения

Экспоненциальное распределение формула. Равномерное и экспоненциальное распределения. Найдем закон распределения

Как было сказано ранее, примерами распределений вероятностей непрерывной случайной величины Х являются:

  • равномерное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
  • показательное распределение вероятностей непрерывной случайной величины;
  • нормальное распределение вероятностей непрерывной случайной величины.

Дадим понятие равномерного и показательного законов распределения, формулы вероятности и числовые характеристики рассматриваемых функций.

Показатель Раномерный закон распределения Показательный закон распределения
Определение Равномерным называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, плотность которого сохраняет постоянное значение на отрезке и имеет вид Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины X, которое описывается плотностью, имеющей вид

где λ – постоянная положительная величина
Функция распределения
Вероятность попадания в интервал
Математическое ожидание
Дисперсия
Среднее квадратическое отклонение

Примеры решения задач по теме «Равномерный и показательный законы распределения»

Задача 1.

Автобусы идут строго по расписанию. Интервал движения 7 мин. Найти: а) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус менее двух минут; б) вероятность того, что пассажир, подошедший к остановке, будет ожидать очередной автобус не менее трех минут; в) математическое ожидание и среднее квадратическое отклонение случайной величины X – времени ожидания пассажира.

Решение. 1. По условию задачи непрерывная случайная величина X={время ожидания пассажира} равномерно распределена между приходами двух автобусов. Длина интервала распределения случайной величины Х равна b-a=7, где a=0, b=7.

2. Время ожидания будет менее двух минут, если случайная величина X попадает в интервал (5;7). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(5 < Х < 7) = (7-5)/(7-0) = 2/7 ≈ 0,286.

3. Время ожидания будет не менее трех минут (т.е. от трех до семи мин.), если случайная величина Х попадает в интервал (0;4). Вероятность попадания в заданный интервал найдем по формуле: Р(х 1 <Х<х 2)=(х 2 -х 1)/(b-a) .
Р(0 < Х < 4) = (4-0)/(7-0) = 4/7 ≈ 0,571.

4. Математическое ожидание непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: М(Х)=(a+b)/2 . М(Х) = (0+7)/2 = 7/2 = 3,5.

5. Среднее квадратическое отклонение непрерывной, равномерно распределенной случайной величины X – времени ожидания пассажира, найдем по формуле: σ(X)=√D=(b-a)/2√3 . σ(X)=(7-0)/2√3=7/2√3≈2,02.

Задача 2.

Показательное распределение задано при x ≥ 0 плотностью f(x) = 5e – 5x. Требуется: а) записать выражение для функции распределения; б) найти вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4); в) найти вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 ; г) вычислить M(X), D(X), σ(X).

Решение. 1. Поскольку по условию задано показательное распределение , то из формулы плотности распределения вероятностей случайной величины X получаем λ = 5. Тогда функция распределения будет иметь вид:

2. Вероятность того, что в результате испытания X попадает в интервал (1;4) будем находить по формуле:
P(a < X < b) = e −λa − e −λb .
P(1 < X < 4) = e −5*1 − e −5*4 = e −5 − e −20 .

3. Вероятность того, что в результате испытания X ≥ 2 будем находить по формуле: P(a < X < b) = e −λa − e −λb при a=2, b=∞.
Р(Х≥2) = P(1< X < 4) = e −λ*2 − e −λ*∞ = e −2λ − e −∞ = e −2λ - 0 = e −10 (т.к. предел e −х при х стремящемся к ∞ равен нулю).

4. Находим для показательного распределения:

  • математическое ожидание по формуле M(X) =1/λ = 1/5 = 0,2;
  • дисперсию по формуле D(X) = 1/ λ 2 = 1/25 = 0,04;
  • среднее квадратическое отклонение по формуле σ(Х) = 1/λ = 1/5 = 1,2.
Файл примера

Рассмотрим Экспоненциальное распределение, вычислим его математическое ожидание, дисперсию, медиану. С помощью функции MS EXCEL ЭКСП.РАСП() построим графики функции распределения и плотности вероятности. Сгенерируем массив случайных чисел и произведем оценку параметра распределения.

(англ. Exponential distribution ) часто используется для расчета времени ожидания между случайными событиями. Ниже описаны ситуации, когда возможно применение Экспоненциального распределения :

  • Промежутки времени между появлением посетителей в кафе;
  • Промежутки времени нормальной работы оборудования между появлением неисправностей (неисправности возникают из-за случайных внешних влияний, а не по причине износа, см. );
  • Затраты времени на обслуживание одного покупателя.

Генерация случайных чисел

Для генерирования массива чисел, распределенных по экспоненциальному закону , можно использовать формулу =-LN(СЛЧИС())/ λ

Функция СЛЧИС() генерирует от 0 до 1, что как раз соответствует диапазону изменения вероятности (см. файл примера лист Генерация ).

Если случайные числа содержатся в диапазоне B14:B213 , то оценку параметра экспоненциального распределения λ можно сделать с использованием формулы =1/СРЗНАЧ(B14:B213) .

Задачи

Экспоненциальное распределение широко используется в такой дисциплине как Техника обеспечения надежности (Reliability Engineering). Параметр λ называется интенсивность отказов , а 1/ λ – среднее время до отказа .

Предположим, что электронный компонент некой системы имеет срок полезного использования, описываемый Экспоненциальным распределением с интенсивностью отказа равной 10^(-3) в час, таким образом, λ = 10^(-3). Среднее время до отказа равно 1000 часов. Для того чтобы подсчитать вероятность, что компонент выйдет из строя за Среднее время до отказа, то нужно записать формулу:

Т.е. результат не зависит от параметра λ .

В MS EXCEL решение выглядит так: =ЭКСП.РАСП(10^3; 10^(-3); ИСТИНА)

Задача . Среднее время до отказа некого компонента равно 40 часов. Найти вероятность, что компонент откажет между 20 и 30 часами работы. =ЭКСП.РАСП(30; 1/40; ИСТИНА)- ЭКСП.РАСП(20; 1/40; ИСТИНА)

СОВЕТ : О других распределениях MS EXCEL можно прочитать в статье .

Закон относится к распределению непрерывной случайной величины X, принимающей лишь неотрицательные значения: Плотность вероятности этого распределения Этому закону следуют распределения периодов времени автоматического (безостановочного) хода многих станков или агрегатов автоматических линий,...
 (ТЕОРИЯ ПЛАНИРОВАНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТА И АНАЛИЗ СТАТИСТИЧЕСКИХ ДАННЫХ)
  • Показательный (экспоненциальный) закон распределения
    Непрерывная случайная величина X имеет экспоненциальный закон распределения с параметром X, если ее плотность вероятности имеет вид Функция распределения вероятностей Вероятность отказа работы некоторого устройства за время х Для случайной величины X, распределенной по экспоненциальному...
     (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ И МАТЕМАТИЧЕСКАЯ СТАТИСТИКА)
  • Геометрическое распределение
    Геометрическое распределение неразрывно связано с биномиальным. Отличие состоит в том, что биномиальная случайная величина определяет вероятность т успехов в п испытаниях, а геометрическая - вероятность п испытаний до первого успеха (включая первый успех). Пусть производятся независимые...
     (СТАТИСТИКА С ЭЛЕМЕНТАМИ ЭКОНОМЕТРИКИ)
  • Геометрическое распределение и его обобщения
    Определение. Дискретная случайная величина X = т имеет геометрическое распределение с параметром р, если она принимает значения 1, 2, ...» т... (бесконечное, но счетное множество значений) с вероятностями где Ряд геометрического распределения ...
     (ТЕОРИЯ ВЕРОЯТНОСТЕЙ)
  • Эффективность распределения ресурсов в условиях конкурентного рынка
    Рыночная экономика, работающая в условиях ограниченных ресурсов, должна так их распределить, чтобы максимизировать удовлетворение общественных потребностей. Этой же цели способствует лучшее использование ресурсов на каждом предприятии и в каждой отрасли. В этом случае общественное производство эффективно....
     (Экономическая теория)
  • Распределение доходов и социальная политика
    Рыночный механизм формирования доходов Отличительной чертой современной рыночной экономики является ее социальная направленность. Развитие экономики, с одной стороны, позволяет осуществлять более сложные социальные программы, а с другой - решение социальных проблем служит важным фактором роста...
     (Экономическая теория)

    • Непрерывная случайная величина имеет показательный (экспоненциальный ) закон распределения с параметром , если ее плотность вероятности имеет вид :

    (12.1)

    Здесь постоянная положительная величина. Т.о. показательное распределение определяется одним положительным параметром . Найдем интегральную функцию показательного распределения:

    (12.3)

    Рис. 12.1. Дифференциальная функция показательного распределения ()

    Рис. 12.2. Интегральная функция показательного распределения ()

    Числовые характеристики показательного распределения

    Вычислим математическое ожидание и дисперсию показательного распределения:

    Для вычисления дисперсии воспользуемся одним из ее свойств:

    Т.к. , то остается вычислить :

    Подставив (12.6) в (12.5), окончательно получим:

    (12.7)

    Для случайной величины, распределенной по показательному закону, математическое ожидание равно среднему квадратическому отклонению.

    Пример 1. Написать дифференциальную и интегральную функции показательного распределения, если параметр .

    Решение . а) Плотность распределения имеет вид:

    б) Соответствующая интегральная функция равна:

    Пример 2. Найти вероятность попадания в заданный интервал для СВ , распределенной по экспоненциальному закону

    Решение . Найдем решение, вспомнив, что: . Теперь с учетом (12.3) получим:

    Функция надежности

    Будем называть элементом некоторое устройство, независимо от того "простое" оно или "сложное". Пусть элемент начинает работать в момент времени , а по истечении времени длительностью происходит отказ. Обозначим через непрерывную СВ – длительность времени безотказной работы элемента. Если элемент проработает безотказно (до наступления отказа) время, меньшее чем , то, следовательно, за время длительностью наступит отказ. Таким образом, вероятность отказа за время длительностью определяется интегральной функцией:

    . (12.8)

    Тогда вероятность безотказной работы за то же время длительностью равна вероятности противоположного события, т.е.

    Функцией надежности называют функцию, определяющую вероятность безотказной работы элемента за время длительностью .

    Часто длительность времени безотказной работы элемента имеет показательное распределение, интегральная функция которого равна:

    . (12.10)

    Тогда, в случае показательного распределения времени безотказной работы элемента и с учетом (12.9) функция надежности будет равна:

    . (12.11)

    Пример 3. Время безотказной работы элемента распределено по показательному закону при ( время в часах). Найти вероятность того, что элемент проработает безотказно 100 часов.

    Решение . В нашем примере , тогда воспользуемся (12.11):

    Показательный закон надежности весьма прост и удобен для решения практических задач. Этот закон обладает следующим важным свойством:

    Вероятность безотказной работы элемента на интервале времени длительностью не зависит от времени предшествующей работы до начала рассматриваемого интервала, а зависит только от длительности времени (при заданной интенсивности отказов ).

    Докажем это свойство, введя следующие обозначения:

    безотказная работа элемента на интервале длительностью ;

    Тогда событие состоит в том, что элемент безотказно работает на интервале длительностью . Найдем вероятности этих событий по формуле (12.11), полагая, что время безотказной работы элемента подчинено показательному закону:

    Найдем условную вероятность того, что элемент будет работать безотказно на интервале времени при условии, что он уже проработал безотказно на предшествующем интервале времени:

    (12.13)

    Мы видим, что полученная формула не зависит от , а только от . Сравнивая (12.12) и (12.13) можно сделать вывод, что условная вероятность безотказной работы элемента на интервале длительностью , вычисленная в предположении, что элемент проработал безотказно на предшествующем интервале, равна безусловной вероятности.

    Итак, в случае показательного закона надежности, безотказная работа элемента "в прошлом" не сказывается на величине вероятности его безотказной работы "в ближайшем будущем".


    Элементы комбинаторики

    Пространство элементарных событий. Случайные события.

    Вероятность

    Современное понятие вероятности

    Классическая вероятностная схема

    Геометрические вероятности

    Закон сложения вероятностей

    Теорема умножения вероятностей

    Формула полной вероятности

    Теорема гипотез. Формула Байеса.

    Повторение испытаний. Схема Бернулли.

    Локальная теорема Муавра-Лапласа

    Интегральная теорема Муавра-Лапласа

    Теорема Пуассона (Закон редких событий)

    Случайные величины

    Функции распределения

    Непрерывная случайная величина и плотность распределения

    Основные свойства плотности распределения

    Числовые характеристики одномерной случайной величины

    Свойства математического ожидания

    Моменты случайной величины

    Свойства дисперсии

    Асимметрии и эксцесс

    Многомерные случайные величины

    Свойства двумерной функции распределения

    Плотность вероятности двумерной случайной величины

    Задача Бюффона

    Условная плотность распределения

    Числовые характеристики системы случайных величин

    Свойства коэффициента корреляции

    Нормальный (гауссов) закон распределения

    Вероятность попадания на интервал

    Свойства нормальной функции распределения

    Распределение ("хи–квадрат")

    Показательный (экспоненциальный) закон распределения

    Числовые характеристики показательного распределения

    Функция надежности

    Отметим здесь основные понятия и формулы, связанные с показательным распределением непрерывной случайной величины $X$ не вдаваясь в подробности их вывода.

    Определение 1

    Показательным или экспоненциальным распределения непрерывной случайной величины $X$ называется распределение, плотность которого имеет вид:

    Рисунок 1.

    График плотности показательного распределения имеет вид (рис. 1):

    Рисунок 2. График плотности показательного распределения.

    Функция показательного распределения

    Как нетрудно проверить, функция показательного распределения имеет вид:

    Рисунок 3.

    где $\gamma $ - положительная константа.

    График функции показательного распределения имеет вид:

    Рисунок 4. График функции показательного распределения.

    Вероятность попадания случайной величины при показательном распределении

    Вероятность попадания непрерывной случайной величины в интервал $(\alpha ,\beta)$ при показательном распределении вычисляется по следующей формуле:

    Математическое ожидание : $M\left(X\right)=\frac{1}{\gamma }.$

    Дисперсия : $D\left(X\right)=\frac{1}{{\gamma }^2}.$

    Среднее квадратическое отклонение: $\sigma \left(X\right)=\frac{1}{\gamma }$.

    Пример задачи на показательное распределение

    Пример 1

    Случайная величина $X$ подчиняется экспоненциальному закону распределения. На участке области определения $\left \